SEMINARIO 2022/04 CRUZ DEL SUR

On non-Archimedean valued fields: a survey of algebraic, topological and metric structures, analysis and applications

Viernes 20 de mayo de 2022 | 16.00 horas

Conferencista: Khodr Shamseddine de la  Universidad de Manitoba, Canada.

 Abstract

Summary: In this talk, we will briefly review basic properties of ultrametric spaces, valued fields and ordered fields as well as the connection between these different mathematical objects. In particular, we will present a survey of their algebraic, topological and metric structures. As examples, we will introduce the p-adic fields and the so-called general Hahn fields and Levi-Civita fields, and we will present a summary of their key properties. Then, we will focus our attention on two special Levi-Civita fields: R and its complex counterpart C. Among all the non-Archimedean fields surveyed in the first part of the talk, R and C are unique from a pure Mathematical point of view as well as from a computational point of view. We will give a brief summary of our research work on R and C, with one computational application.

SEMINARIO 2022/03 CRUZ DEL SUR

High-dimensional Hamilton-Jacobi PDEs: Approximation, Representation, and Learning

Viernes 06 de mayo de 2022 | 16.00 horas

Conferencista: Jennifer Paulhus del Grinnell College.

 Abstract

A well known result on Riemann surfaces says that the automorphism group of any such surface is a finite group of bounded size (based on the genus of the surface). Additionally, the Riemann-Hurwitz formula gives us an expectation for when a particular group should be the automorphism group of a Riemann surface of a particular genus. There has been a lot of work over the last 20 years to classify which groups show up for a given genus. This talk will first introduce the core ideas in the field, and then talk about recent results to classify groups which are indeed automorphisms in just about
every genus they should be. We’ll also make a surprising connection to simple groups. This is joint work with Mariela Carvacho, Tom Tucker, and Aaron Wootton.

SEMINARIO 2022/02 CRUZ DEL SUR

High-dimensional Hamilton-Jacobi PDEs: Approximation, Representation, and Learning

jueves 07 de abril de 2022 | 16.00 horas

Conferencista:  Dante Kalise del Imperial College London

 Abstract

Hamilton-Jacobi PDEs are a central object in optimal control and differential games, enabling the computation of robust controls in feedback form. High-dimensional HJ PDEs naturally arise in the feedback synthesis for high-dimensional control systems, and their numerical solution must be sought outside the framework provided by standard grid-based discretizations. In this talk, I will discuss the construction novel computational methods for approximating high-dimensional HJ PDEs. In the first part of the talk, I will present a numerical method based on tensor decompositions. Such a compressed representation of the value function has a complexity that scales linearly with respect to the dimension of the control system, allowing the solution of control problems over very high-dimensional states. In the second part of the talk, I will discuss the construction of a class of causality-free, data-driven methods which circumvent the numerical solution of the HJ PDE. I will address the generation of a synthetic dataset based on the use of representation formulas (such as Lax-Hopf or Pontryagin's Maximum Principle), which is then fed into a high-dimensional sparse polynomial model for training. The use of representation formulas providing gradient information is fundamental to increase the data efficiency of the method. I will present applications in control of nonlinear PDEs and agent-based models.

SEMINARIO 2022/01 CRUZ DEL SUR

Simetrías de una curva algebraica: los desafíos de la característica positiva

Viernes 01 de abril de 2022 | 15.30 horas

Conferencista: María Alejandra Álvarez de la Universidad de Antofagasta, Chile.

 Abstract

Resumen: El estudio de las simetrías (o, en términos modernos, de los automorfismos) de una curva algebraica definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K es un tema clásico en geometría algebraica. En el caso complejo, este tema se remonta a los trabajos fundamentales de Schwartz, Klein, Noether, Weierstrass, Poincaré y Hurwitz. La prueba de la finitud del grupo de automorfismos de una curva compleja (o, si se prefiere, de una superficie de Riemann compacta) de género mayor que 1 y de la cota de Hurwitz (que establece que el tamaño del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann está acotada superiormente por una función lineal en el género de la curva) se encuentran entre los mayores logros de las matemáticas del siglo XIX. ¿Y si K tiene característica positiva? Debido al fenómeno de la llamada “ ild ramification", el límite de Hurwitz puede fallar en este caso, dando lugar a curvas con "demasiados automorfismos". Algunos de estos ejemplos, como la famosa curva de Hermitiana, surgen en relación con una serie de áreas, más notablemente la geometría finita y la teoría de los códigos, lo que produce una rica interacción entre estas áreas. Esta charla es una suave introducción a los problemas, técnicas y desafíos de esta área de investigación.

SEMINARIO 2021/13 CRUZ DEL SUR

Representaciones fieles para ciertas álgebras de Lie

Viernes 29 de octubre de 2021 | 16.00 horas

Conferencista: María Alejandra Álvarez de la Universidad de Antofagasta, Chile.

 Abstract

Dada un álgebra de Lie g, una forma natural de trabajar con ella es mediante el uso de una representación fiel, es decir, asociando a cada elemento de la base del álgebra una matriz adecuada. Esto puede no ser tan apropiado si las matrices que elegimos son de gran tamaño, por eso buscamos las de menor dimensión posible que permita preservar todas las propiedades del ́algebra. En esta charla mostraremos cómo obtener representaciones fieles para una clase de álgebras de Lie y ejemplos en los que la dimensión de las mismas.