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El peso de Weierstrass de los puntos de hiper-osculación de las curvas generalizadas de Fermat

Maximiliano Leyton*
Universidad de Talca 
Abstract:
Es bien sabido que la geometría de las curvas lisas proyectivas complejas puede ser descrita a través de superficies de Riemann, geometría hiperbólica, variedades jacobianas, etc. Sin embargo, la correspondencia entre las distintas descripciones es solo existencial. En general, dada una de estás descripciones no se conoce concretamente las otras, salvo en casos donde la curva tiene una geometría muy rígida (la recta proyectiva o singularidades aisladas del respectivo espacio de parámetros). Las curvas generalizadas de Fermat son familias de curvas donde esta correspondencia se conoce “bastante bien”. Lo cual nos proporciona una cantidad considerable de ejemplos no completamente triviales.
Un caso particular de curvas generalizas de Fermat son las curvas de Fermat clásicas, es decir la curva proyectiva 
\[x_0^k+x_1^k+x_2^k=0\]
. En 1950, Hasse (ver [1]) calculo los pesos de Weierstrass de los
\[3k\]
puntos de hiper-osculación de la incrustación estándar de las curvas de Fermat clásicas, Leopoldt para 
\[k>5\]
encontró
\[3k^2\]
nuevos de puntos de Weierstrass (para más información ver el articulo de Rohrlich [2]). In 1999 Watanabe (ver [4]) muestra que en el caso
\[k=6\]
existen puntos de Weierstrass adicionales a los encontrados por Leopoldt. Towse en el año 2000 (ver [3]) calculo los pesos de Weierstrass de involuciones en el caso
\[k=9, 10\]
.
En este trabajo encontramos una cota inferior optima del peso de Weierstrass los puntos de hiper-osculación de la incrustación estándar de las curvas generalizadas de Fermat, la igualdad es alcanzada en un abierto analítico denso del espació del espacio de parámetros de la respectiva familia de curvas generalizadas de Fermat.
En esta charla daremos las definiciones básicas y daremos una idea de la prueba del resultado anteriormente mencionado.
 
Trabajo realizado en conjunto con Rubén Hidalgo
\[^1\]
, Departamento de Matemática y Estadística, Universidad de la Frontera, Temuco.
References:
[1] Hasse, H. Über den algebraischen Funktionenkörper der Fermatschen Gleichung. Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math. 13 (1950), 195–207.
[2] Rohrlich, D. E. Some remarks on Weierstrass points. In Number theory related to Fermat’s last theorem (Cambridge, Mass., 1981) 26 of Progr. Math., pp. 71–78. Birkhäuser, Boston, Mass., 1982.
[3] Towse, Chr. Generalized Wronskians and Weierstrass weights. Pacific Journal of Mathematics 193 No. 2 (2000), 501–508.
[4] Watanabe, K. Weierstrass points of the Fermat curve. In Recent developments in complex analy- sis and computer algebra (Newark, DE, 1997), 4 of Int. Soc. Anal. Appl. Comput. pp. 331–343. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999.
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